کتاب اصول آنالیز حقیقی – محمدعلی رضوانی – پوران پژوهش

کتاب اصول آنالیز حقیقی نوشته محمدعلی رضوانی و در نشر پوران پژوهش به چاپ رسیده است، موضوع کتاب، بر نظریه اندازه و انتگرال لبگ و کاربردهای آنها در زمینه‌هایی از آنالیز تابعی متمرکز شده است. همانند ویرایش‌های قبل، معرفی نظریه اندازه را بر مفهوم نیم – حلقه همراه با روند توسیع کلاسیک کارا تئودوری بنا کرده‌ایم. به باور ما، دانشجویان به آسانی می‌توانند این رهیافت طبیعی را درک کنند. امتیاز دیگر ارائه نظریه اندازه از طریق نیم – حلقه‌ها این حقیقت است که حاصلضرب دو نیم – حلقه همواره یک نیم – حلقه است در حالی که حاصلضرب دو ۰ – جبر یک نیم – حلقه است و نه یک ۰ – جبر. این حقیقت ساده ولی مهم نشان می‌دهد که رهیافت مبتنی بر نیم – حلقه‌ها، چارچوب طبیعی برای بررسی حاصلضرب اندازه‌ها و انتگرال‌های مکرر است.

فهرست مطالب:

بنیادهای آنالیز حقیقی

1. نظریه مقدماتی مجموعه‌ها
2. مجموعه‌های شمارش‌پذیر و شمارش‌ناپذیر
3. اعداد حقیقی
4. دنباله‌های حقیقی
5. دستگاه منبسط اعداد حقیقی
6. فضاهای متریک
7. فشردگی در فضاهای متریک

توپولوژی و پیوستگی

1. فضاهای توپولوژیک
2. توابع حقیقی پیوسته
3. ویژگی‌های جداسازی توابع پیوسته
4. قضیه تقریب استون – وایرشتراس

نظریه اندازه

1. نیم – حلقه مجموعه‌ها و جبر مجموعه‌ها
2. اندازه روی نیم – حلقه‌ها
3. اندازه‌های برونی و مجموعه‌های اندازه‌پذیر
4. اندازه برونی تولید شده به وسیله یک اندازه
5. توابع اندازه‌پذیر
6. توابع ساده و توابع پله‌ای
7. اندازه لبگ
8. همگرایی در اندازه
9. اندازه‌پذیری مجرد

انتگرال لبگ

1. توابع بالایی
2. توابع انتگرال‌پذیر
3. انتگرال ریمان و انتگرال لبگ
4. کاربردهای انتگرال لبگ
5. تقریب توابع انتگرال‌پذیر
6. اندازه‌های حاصلضرب و انتگرال مکرر

فضاهای نرم‌دار و فضاهای L(p)

1. فضاهای نرم‌دار و فضاهای باناخ
2. عملگرهای بین فضاهای باناخ
3. فرم‌های خطی
4. مشبکه‌های باناخ
5. فضاهای L(p)

فضاهای هیلبرت

1. فضاهای با ضریب داخلی
2. فضاهای هیلبرت
3. پایه‌های یکا متعامد
4. آنالیز فوریه

چند مبحث ویژه در نظریه انتگرال

1. اندازه‌های علامت‌دار
2. مقایسه اندازه‌ها و قضیه رادون – نیکودیم
3. قضیه نمایش ریس
4. مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری
5. فرمول تعویض متغیر